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Trigonométrie

A quoi ça sert la trigonométrie dans un triangle rectangle ?

La trigonométrie permet d'établir le lien entre les valeurs des angles d'un triangle rectangle et les longueurs de ses côtés. En fonction des données connues dans le triangle et des données demandées, il faudra choisir l'une des trois formules de trigonométrie : formule du sinus, formule du cosinus et formule de la tangente (plus tard, vous allez également apprendre la formule de la cotangente, non demandée dans les examens officiels). 


  • L'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle
  • Le côté adjacent à un angle est le côté qui touche cet angle mais qui n'est pas l'hypoténuse
  • Le côté opposé à un angle est le côté qui ne touche pas cet angle

Forme générale :

Utilisation :

La formule du sinus peut être utiliser pour trouver soit les longueurs des côtés ou les valeurs des angles inconnus d'un triangle rectangle. Il y a trois cas : cas 1, cas 2 et cas 3.

Si la valeur de l'angle B et la longueur du côté opposé à cet angle (ici le côté AC) sont connues, alors on peut calculer la longueur de l'hypoténuse (ici le côté BC) en applicant la formule du sinus ci-dessus.

Si la valeur de l'angle B et la longueur de l'hypoténuse (ici le côté BC) sont connues, alors on peut calculer la longueur du côté opposé à l'angle B (ici le côté AC) en applicant la formule du sinus ci-dessus.

Si la longueur du côté opposé à l'angle B (ici le côté AC) et la longueur de l'hypoténuse (ici le côté BC) sont connues, alors on peut calculer le sinus de l'angle B en applicant la formule du sinus ci-dessus. La calculatrice permet de trouver la valeur de l'angle B à partir de son sinus.

Forme générale :

Utilisation :

La formule du cosinus peut être utiliser pour trouver soit les longueurs des côtés ou les valeurs des angles inconnus d'un triangle rectangle. Il y a trois cas : cas 1, cas 2 et cas 3.

Si la valeur de l'angle B et la longueur du côté adjacent à cet angle (ici le côté AB) sont connues, alors on peut calculer la longueur de l'hypoténuse (ici le côté BC) en applicant la formule du cosinus ci-dessus.

Si la valeur de l'angle B et la longueur de l'hypoténuse (ici le côté BC) sont connues, alors on peut calculer la longueur du côté adjacent à l'angle B (ici le côté AB) en applicant la formule du cosinus ci-dessus.

Si la longueur du côté adjacent à l'angle B (ici le côté AB) et la longueur de l'hypoténuse (ici le côté BC) sont connues, alors on peut calculer le cosinus de l'angle B en applicant la formule du cosinus ci-dessus. La calculatrice permet de trouver la valeur de l'angle B à partir de son cosinus.

Forme générale :

Ainsi :

Utilisation :

La formule de la tangente peut être utiliser pour trouver soit les longueurs des côtés ou les valeurs des angles inconnus d'un triangle rectangle. Il y a trois cas : cas 1, cas 2 et cas 3.

Si la valeur de l'angle B et la longueur du côté adjacent à cet angle (ici le côté AB) sont connues, alors on peut calculer la longueur du côté opposé à l'angle B (ici le côté AC) en applicant la formule de la tangente ci-dessus.

Si la valeur de l'angle B et la longueur du côté opposé à cet angle (ici le côté AC) sont connues, alors on peut calculer la longueur du côté adjacent à l'angle B (ici le côté AB) en applicant la formule de la tangente ci-dessus.

Si la longueur du côté adjacent à l'angle B (ici le côté AB) et la longueur du côté opposé à l'angle B (ici le côté AC) sont connues, alors on peut calculer la tangente de l'angle B en applicant la formule de la tangente ci-dessus. La calculatrice permet de trouver la valeur de l'angle B à partir de sa tangente.

Exemple :

Question

On considère le triangle rectangle ci-dessous (le schéma n'est pas à l'échelle) :

  • La formule à utiliser pour calculer la longueur du côté opposé à l'angle L est : 

Réponses

La formule du sinus

La formule du cosinus

La formule de la tangente

Echo en retour

Question

  • La formule correcte à utiliser est : 

Réponses

La formule de la tangente :

La formule du sinus :

La formule du cosinus :

La formule de la tangente :

Echo en retour

Question

  • La longueur du côté opposé à l'angle L vaut : 

Réponses

4,57 cm

5,64 cm

3,73 cm

Echo en retour

Question

  • La formule à utiliser pour calculer la longueur de l'hypoténuse est : 

Réponses

La formule du sinus

La formule du cosinus

La formule de la tangent

Echo en retour

Question

  • La formule correcte à utiliser est : 

Réponses

La formule de la tangente :

La formule du sinus :

La formule du cosinus :

La formule du cosinus :

Echo en retour

Question

  • La longueur de l'hypoténuse vaut : 

Réponses

5,74 cm

7,67 cm

8,83 cm

Echo en retour

Application numérique :

On souhaite connaître la hauteur d'un arbre. On suppose que l'angle en B = 42° et BC =  m (figure | hint).

Comme on connait la longueur du segment [BC] et la mesure de l'angle en B, la méthode la plus facile pour résoudre cet exercice est d'appliquer la formule du sinus. Soit:

Et ensuite de calculer la longueur du segment [AC] qui représente la hauteur de l'arbre.

La hauteur de l'arbre est égale à m.

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